Forum libero

> > Che c'entrano gli archi? Stavo parlando di aree.
> >
> > Considera, per ogni passo, il vertice della
> > spezzata più distante dal centro del cerchio, e
> > costruisci un secondo cerchio passante per
> questo
> > vertice. Questo secondo cerchio è esterno al
> > primo, ma man mano che si procede si avvicina ad
> > esso. Il poligono sta nella corona circolare tra
> > i due cerchi, che si assottigla man mano che si
> > procede: ogni suo punto tende verso il cerchio
> > interno. Però la lunghezza del poligono resta
> > sempre 4, mentre quella del cerchio è pi
> > greco.
>
> tu non hai chiaro il concetto di infinito:

L'infinito è un concetto topologico e qua nessuno sta capendo il senso della mia domanda, che riformulata in termini più formali sarebbe:

Consideriamo l'insieme delle curve nel piano e rendiamolo spazio metrico definendo in modo opportuno una distanza tra curve. La metrica permette di definire un limite secondo cui una curva "tende" ad un'altra. Secondo questo limite la poligonale spezzata tende al cerchio (e lo fa anche puntualmente) però la lunghezza della spezzata non tende alla lunghezza del cerchio.

Perciò, se definiamo una funzione lunghezza avente per dominio l'insieme delle curve, questa non è continua (secondo la continuità definita dalla metrica di cui sopra). Cioè il limite delle lunghezze delle curve (cioè il limite di una successione il cui termine vale sempre 4) non è uguale alla lunghezza della curva limite (π).

Però quello che ho finora scritto non è una spiegazione del perché accada, è solo una constatazione. L'esempio mostra che la funzione lunghezza non è continua nello spazio metrico delle curve nel piano, però non dice nulla sul perché la funzione lunghezza non debba essere continua in genere né in questo caso particolare. Il mio stupore deriva dal fatto che non sia continua.

Ho la sensazione che tutti quelli che mi hanno finora risposto (qui e altrove) abbiano capito ancor meno di me e si siano accontentati di spiegazioni che non spiegano.
Infatti ho iniziato dicendo che mi piacerebbe che qualcuno me lo spiegasse bene. Una spiegazione soddisfacente dovrebbe mostrare perché, in generale, variando le curve con continuità la lunghezza delle stesse non varia necessariamente con continuità.

> l'infinito non è un numero nè qualcosa che si
> raggiunge, quindi dallo step precedente al
> successivo non fai altro che diminuire le
> dimensioni degli archi aumentandone però il
> numero e questo
> "all'infinito"