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> Da un punto di vista di matematica empirica.

Da tutti i punti di vista.

La matematica è nata in questo modo, è nata per descrivere la realtà, è perciò evidente che si basa su regole e principi che fanno parte di questa realtà e di questo universo.

> Ma dal punto di vista della matematica come sistema autonomo, "due più due" fa "quattro" perché "quattro" è definito come "tre più uno", "tre" come "due più uno" e "due" come "uno più uno": quindi puoi sostituire
> "quattro" con "tre più uno" cioè "due più uno più uno" e quindi "due più due".

Quelli sono ragionamenti successivi, basati però sulle stesse regole dettate dalla realtà apprese precedentemente. La matematica, come anche la scienza e la tecnologia, si costruiscono pezzo per pezzo su quello che si è già appreso precedentemente. Alcuni di questi passaggi sono il risultato di ragionamenti che però si basano su regolette e passaggi precedenti derivati dall'esperienza reale.

Alla fine di tutti i ragionamenti che puoi fare in matematica, se scavi abbastanza a fondo in tutti questi ragionamenti solo all'apparenza astratti, prima o poi tornerai con i piedi per terra, alle due pecore che si sommano alle altre due pecore, perché tutti i teoremi matematici si basano su dimostrazioni che si basano a loro volta su altri teoremi che, alla fine di una magari lunga catena, arriveranno alle quattro pecore di cui sopra.

La realtà è coerente e logica, e così è la nostra matematica perché SI BASA sulla nostra realtà. Se fossimo vissuti in una realtà diversa, anche la nostra matematica sarebbe diversa.

> Le virgolette evidenziano che sto semplicemente manipolando delle stringhe (espressioni) usando regole stabilite. È una macchinetta logica, un sapere esclusivamente verbale. Parti da un insieme di espressioni, giri la manovella - cioè applichi le regole e aggiungi coerentemente ingredienti - e questo si monta a panna, generando espressioni su espressioni, man mano sempre più complesse, inattese, distanti dalle espressioni di partenza.

Appunto, ma queste espressioni non sono nate dal nulla, si basano su altre espressioni e altre espressioni prima ancora finché non torni alla conta delle pecore.

Prendi il puro linguaggio ad esempio... è nato per una necessità del tutto pratica. Inizialmente il nostro linguaggio era probabilmente molto semplice, con pochissimi concetti e suoni o simboli associati a quei concetti. Poi il linguaggio, piano piano, ci ha permesso di ragionare su cose più astratte... siamo partiti da "casa" per indicare la nostra "tana" e siamo arrivati ai racconti di Asimov. Il linguaggio però non ha la pretesa di essere coerente con la realtà, perciò possiamo anche fare "salti di fantasia" e inventarci concetti inesistenti, la matematica invece è una costruzione che parte da concetti molto semplici e legati a doppia mandata con la realtà e si sviluppa in modo coerente e logico in concetti sempre più complessi.

POI si è cercato di riscrivere la matematica in modo più formale, cercando di staccarsi dalle sue origini, ma sempre usando le stesse regolette che derivano dalla realtà che ci circonda. Quindi oggi magari insegni la matematica tirando in ballo concetti molto più astratti, ma questa cosa sta confondendo le menti semplici come quelle dei licchioni che cominciano a pensare che matematica e realtà non siano imparentate e sia solo un caso che le due cose vadano così bene d'accordo.

> Lo stupore del fisico deriva dal fatto che un sistema di regole creato per corrispondere a ciò che si conosce (pecore) finisce per corrispondere anche a cose che verranno scoperte dopo molto tempo. Non solo, ma le espressioni ottenute girando la manovella danno indicazioni su cosa cercare per scoprire nella realtà.

Non c'è nulla di cui stupirsi, perché come ho detto la matematica si basa sulle stesse regole della realtà. Alcune parti della nostra realtà sono state per molti secoli nascoste e al di là della nostra diretta osservazione, ma tramite la matematica ci si è potuti arrivare prima perché applicare delle formule è in generale più semplice che costruire un LHC sotto Ginevra. La realtà è coerente, le regolette che ne formano le basi si possono espandere ed usare per ricavare altre regolette che descrivono parti di realtà che magari non abbiamo ancora osservato... la matematica è solo un modo per ragionare su questa realtà in modo più astratto ed incorpora quelle regolette di cui parliamo.

> Girando la manovella, da "1 + 1 = 2" si perviene ad espressioni come "Il gruppo delle rotazioni ammette una rappresentazione 2x2" (che significa che esiste un insieme di matrici 2x2 che ha la struttura di gruppo, biunivocamente corrispondente al gruppo delle operazioni di rotazione in tre dimensioni) che è coerente con l'esistenza dello spin.
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> Man mano che la si scopre, la realtà appare coerente con la matematica inizialmente sviluppata per essere coerente a una parte della realtà, lasciando intuire una corrispondenza biunivoca tra realtà e rappresentazione matematica.

Certo, perché questa corrispondenza è stata inserita "di fabbrica" nella matematica da noi uomini. La matematica è una nostra creazione, non esiste in natura.