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y" - 5y' + 4y = exp(2x)

y(0) = 0, y'(0) = 0

La soluzione generale dell'equazione si ottiene sommando la soluzione generale dell'omogenea associata a una soluzione particolare dell'equazione completa.

L'omogenea associata

y" - 5y' + 4y = 0

usando la notazione abbreviata

d = d/dx, per cui d² = d d = d^2/dx2

si scrive

(d² - 5d + 4)y = 0

cioè

(d - 4)(d - 1)y = 0

dove 4 e 1 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado - cioè i due numeri il cui prodotto è 4 e la somma è 5. Il polinomio di secondo grado nell'operatore d si fattorizza, cioè equivale al prodotto dei due operatori binomi di primo grado, perché l'equazione è a coefficienti costanti.

Il prodotto applicato a y dà zero in tutti i casi in cui almeno uno dei due fattori, applicato a y, dà zero, per cui

(d - 4)y = 0   e   (d - 1)y = 0 .

(d - 4)y = 0

è un'equazione a variabili separabili:

dy/dx - 4y = 0,   dy/dx = 4y

dy/y = 4dx

ln y = 4x + c

y = exp(4x + c) = exp(4x) exp(c) = A exp(4x) .

Similmente (d - 1)y = 0

ha soluzione y = B exp(x) .

La soluzione generale dell'omogenea è

y0 = A exp(4x) + B exp(x)

come si può verificare sostituendo nell'equazione omogenea.

La soluzione generale dell'equazione completa sarà

y = y0 + y1

dove y1 è una soluzione particolare dell'equazione completa, che cercheremo nella prossima puntata.