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Scritto da
Gatto Selvaggio
Utente non molto privilegiato
il 2008-02-28 15:23:00.0 alle 2008-02-28 15:23:00.0
Trollate totali: 133
http://www.forumdeitroll.it/m.aspx?m_id=2141796&m_... 
y" - 5y' + 4y = exp(2x)
y(0) = 0, y'(0) = 0
La soluzione generale dell'equazione si ottiene sommando la soluzione generale dell'omogenea associata a una soluzione particolare dell'equazione completa.
L'omogenea associata
y" - 5y' + 4y = 0
usando la notazione abbreviata
d = d/dx, per cui d2 = d d = d2/dx2
si scrive
(d2 - 5d + 4)y = 0
cioè
(d - 4)(d - 1)y = 0
dove 4 e 1 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado - cioè i due numeri il cui prodotto è 4 e la somma è 5. Il polinomio di secondo grado nell'operatore d si fattorizza, cioè equivale al prodotto dei due operatori binomi di primo grado, perché l'equazione è a coefficienti costanti.
Il prodotto applicato a y dà zero in tutti i casi in cui almeno uno dei due fattori, applicato a y, dà zero, per cui
(d - 4)y = 0 e (d - 1)y = 0 .
(d - 4)y = 0
è un'equazione a variabili separabili:
dy/dx - 4y = 0, dy/dx = 4y
dy/y = 4dx
ln y = 4x + c
y = exp(4x + c) = exp(4x) exp(c) = A exp(4x) .
Similmente (d - 1)y = 0
ha soluzione y = B exp(x) .
La soluzione generale dell'omogenea è
y0 = A exp(4x) + B exp(x)
come si può verificare sostituendo nell'equazione omogenea.
La soluzione generale dell'equazione completa sarà
y = y0 + y1
dove y1 è una soluzione particolare dell'equazione completa, che cercheremo nella prossima puntata.
y" - 5y' + 4y = exp(2x)
y(0) = 0, y'(0) = 0
La soluzione generale dell'equazione si ottiene sommando la soluzione generale dell'omogenea associata a una soluzione particolare dell'equazione completa.
L'omogenea associata
y" - 5y' + 4y = 0
usando la notazione abbreviata
d = d/dx, per cui d2 = d d = d2/dx2
si scrive
(d2 - 5d + 4)y = 0
cioè
(d - 4)(d - 1)y = 0
dove 4 e 1 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado - cioè i due numeri il cui prodotto è 4 e la somma è 5. Il polinomio di secondo grado nell'operatore d si fattorizza, cioè equivale al prodotto dei due operatori binomi di primo grado, perché l'equazione è a coefficienti costanti.
Il prodotto applicato a y dà zero in tutti i casi in cui almeno uno dei due fattori, applicato a y, dà zero, per cui
(d - 4)y = 0 e (d - 1)y = 0 .
(d - 4)y = 0
è un'equazione a variabili separabili:
dy/dx - 4y = 0, dy/dx = 4y
dy/y = 4dx
ln y = 4x + c
y = exp(4x + c) = exp(4x) exp(c) = A exp(4x) .
Similmente (d - 1)y = 0
ha soluzione y = B exp(x) .
La soluzione generale dell'omogenea è
y0 = A exp(4x) + B exp(x)
come si può verificare sostituendo nell'equazione omogenea.
La soluzione generale dell'equazione completa sarà
y = y0 + y1
dove y1 è una soluzione particolare dell'equazione completa, che cercheremo nella prossima puntata.
L'uomo ragionevole adatta se stesso al mondo, l'irragionevole cerca di adattare il mondo a se stesso. Quindi ogni progresso è opera di persone irragionevoli.
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L'equazione differenziale - parte prima @ 2008-02-28 15:23:00.0 di Gatto Selvaggio
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L'equazione differenziale - conclusione @ 2008-03-01 00:38:00.0 di Non Autenticato
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L'equazione differenziale - parte terza @ 2008-02-29 23:00:00.0 di Non Autenticato
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L'equazione differenziale - parte second @ 2008-02-29 13:13:00.0 di Non Autenticato
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Equazioni differenziali @ 2008-02-28 23:44:00.0 di Non Autenticato
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■ @ 2008-02-28 23:45:00.0 di Non Autenticato
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Re: L'equazione differenziale - parte pr @ 2008-02-28 23:45:00.0 di Non Autenticato
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■ @ 2008-02-28 16:13:00.0 di Non Autenticato
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■ @ 2008-02-28 16:14:00.0 di Non Autenticato
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■ @ 2008-02-28 21:37:00.0 di Non Autenticato
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■ @ 2008-02-28 16:29:00.0 di alex.tg
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■ @ 2008-02-28 16:30:00.0 di Non Autenticato
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■ @ 2008-02-28 19:16:00.0 di The Lich
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■ @ 2008-02-28 16:33:00.0 di alex.tg
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■ @ 2008-02-28 17:12:00.0 di alex.tg
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■ @ 2008-02-28 16:34:00.0 di The Animal
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■ @ 2008-02-28 16:42:00.0 di alex.tg
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